题目
题型:不详难度:来源:
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(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f′(x2)|≤4,求实数m的取值范围;
(3)求函数f(x)的零点个数.
答案
由f´(x)≥0,得x≤m-
m2+1 |
m2+1 |
故函数f(x)的单调增区间为(-∞,m-
m2+1 |
m2+1 |
m2+1 |
m2+1 |
(2)“对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f′(x2)|≤4”等价于“函数y=f´(x),x∈[-1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”.
对于f´(x)=x2-2mx-1,对称轴x=m.
①当m<-1时,f´(x)的最大值为f´(1),最小值为f´(-1),由 f´(1)-f´(-1)≤4,即-4m≤4,解得m≥-1,舍去;
②当-1≤m≤1时,f´(x)的最大值为f´(1)或f´(-1),最小值为f´(m),由
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③当m>1时,f´(x)的最大值为f´(-1),最小值为f´(1),由 f´(-1)-f´(1)≤4,即4m≤4,解得m≤1,舍去;
综上,实数m的取值范围是[-1,1].
(3)由f´(x)=0,得x2-2mx-1=0,
因为△=4m2+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值.
设f´(x0)=0,即x02-2mx0-1=0,
则f (x0)=
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由(1)知:极大值f(m-
m2+1 |
2 |
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m2+1 |
极小值f(m+
m2+1 |
2 |
3 |
m2+1 |
故函数f(x)有三个零点.
核心考点
试题【已知函数f(x)=13x3-mx2-x+13m,其中m∈R.(1)求函数y=f(x)的单调区间;(2)若对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
a |
x |
(Ⅰ)讨论函数h(x)=
f(x) |
x |
(Ⅱ)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(Ⅲ)如果对任意的s,t∈[
1 |
2 |
(Ⅰ)当a=-
1 |
4 |
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)当x∈[1,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在
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(I)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(II)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
(I) 当a=1时,求f(x)的单调区间;
(II) 若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值.
a+1 |
2 |
(Ⅰ)当a=-
1 |
2 |
1 |
e |
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.
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