题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＞

1

2

时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

答案

（1）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，
令f′(x)=

2x2-3x+1

x

＞0，解得x＞1或x＜

1

2

．
则函数f（x）的单调增区间为(0，

1

2

)，(1，+∞)
（2）f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
令f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

=0
①当

1

2

＜a≤1，x∈[1，e]，f"（x）＞0，f（x）单调增．f（x）_min=g（1）=-2a．
②当1＜a＜e，x∈（1，a），f"（x）＜0，f（x）单调减．，x∈（a，e），f"（x）＞0，f（x）单调增．f(x)min=f(a)=-a2-a+alna
③当a≥e，x∈[1，e]，f"（x）＜0，f（x）单调减，f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a
故函数f（x）在区间[1，e]上的最小值f(x)min=

-2a， 1 2 ＜a≤1 -a2-a+alna，1＜a＜e e2-(2a+1)e+a，a≥e