f(x)=lnx-ax2,x∈(0,1] (1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数,求a范围; (2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值. |
(1)∵y=f(x)在(0,1]上是增函数,所以f"(x)≥0在(0,1]上恒成立, 由f(x)=lnx-ax2,则f′(x)=-2ax,即-2ax≥0在(0,1]上恒成立,所以a≤恒成立, 因为x∈(0,1],所以≥, 所以得a≤; (2)f′(x)=-2ax= 若a≤0时,f′(x)=>0 所以y=f(x)在(0,1]上单调递增,所以f(x)max=f(1)=ln1-a=-a, 若a>0,f′(x)== 所以y=f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, ①当≥1,即0<a≤时,f(x)max=f(1)=-a ②当<1,即a>时,f(x)max=f()=ln-. |
核心考点
试题【f(x)=lnx-ax2,x∈(0,1](1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数,求a范围;(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.】;主要考察你对
函数的单调性与导数等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1,g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e为自然对数的底数). (1)讨论函数f(x)在(0,e]上的单调性; (2)是否存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由. (3)若实数m,n满足m>0,n>0,求证:nnem≥mnen. |
已知函数f(x)=ax3+bx2在x=-1时取得极值,曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为12;函数g(x)=f(x)+mx,x∈[1,+∞),函数g(x)的导函数g"(x)的最小值为0. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)求实数m的值; (Ⅲ) 求证:g(x)≥-7. |
已知函数f(x)=x3-ax+b在区间在x=2处取得极值-8 (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)求函数y=f(x)的单调区间. (3)当x∈[-3,3]时,求y=f(x)的最值域. |
若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x-1)的单调递减区间是( )A.(2,4) | B.(0,2) | C.(2,3) | D.(0,1) |
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已知函数f(x)=ln(x+2)-x2+bx+c.在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函数f(x)在区间[0,3]上的最小值. |