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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
2
x2+(
3
4
a2+
1
2a
)   1nx-2ax

(1)当a=-
1
2
时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)在f′(x)的单调区间上也是单调的,求实数a的范围.
答案
(1)当a=-
1
2
时,f(x)=
1
2
x2-
1
16
lnx+x  (x>0)
由f′(x)=x-
1
16x
+1=
16x2+16x-1
16x
=0,可得x1=
-2-


5
4
,x2=
-2+


5
4
…2′
当(0,
-2+


5
4
)时,f′(x)<0,函数单调减,当(
-2+


5
4
,+∞)时,f′(x)>0,函数单调增…3′
∴f(x)在x=
-2+


5
4
时取极小值…4′
(2)f′(x)=
x2-2ax+
3
4
a2+
1
2a
x
(x>0)…5′
令g(x)=x2-2ax+
3
4
a2+
1
2
a,△=4a2-3a2-2a=a2-2a,设g(x)=0的两根x1,x2(x1<x2)…7′
1°、当△≤0时,即0≤a≤2,f′(x)≥0,∴f(x)单调递增,满足题意…9′
2°、当△>0时  即a<0或a>2时
①若x1<0<x2,则 
3
4
a2+
1
2
a<0  即-
2
3
<a<0时,f(x)在(0,x2)上单调减,(x2,+∞上单调增
f′(x)=x+
3
4
a2+
1
2a
x
-2a,f″(x)=1-
3
4
a2+
1
2a
x2
≥0,∴f′(x) 在(0,+∞)单调增,不合题意…11′
②若x1<x2<0,则





3
4
a2+
1
2
a≥0
a<0
,即a≤-
2
3
时,f(x)在(0,+∞)上单调增,满足题意.…13′
③若0<x1<x2,,则





3
4
a2+
1
2
a>0
a>0
,即a>2时,f(x)在(0,x1)单调增,(x1,x2)单调减,(x2,+∞)单调增,不合题意…15′
综上得a≤-
2
3
或0≤a≤2.…16′
核心考点
试题【已知函数f(x)=12x2+(34a2+12a)   1nx-2ax(1)当a=-12时,求f(x)的极值点;(2)若f(x)在f′(x)的单调区间上也是单调的】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ln(2ax+1)+
x3
3
-x2-2ax(a∈R).
(1)当a=
1
2
时,求函数f(x)的极值点;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
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若函数f(x)=ax3+x,
(1)求实数a的取值范围,使f(x)在R上是增函数.
(2)求实数a的取值范围,使f(x)恰好有三个单调区间.
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若曲线y=x3+px+16与x轴相切,则实数p的值为(  )
A.12B.-12C.3
34

D.-3
34

题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).
(Ⅰ)求f (x)的单调区间;
(Ⅱ)若当x∈[
1
e
-1,e-1]
时,不等式f (x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
4
x4-
4
3
x3+2x2,则f(x)(  )
A.有极大值,无极小值B.有极大值,有极小值
C.有极小值,无极大值D.无极小值,无极大值
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