题目

题型：武汉模拟难度：来源：

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x∈[

1

e

-1，e-1]时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞）．（1分）
∵f/(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）．（4分）
（Ⅱ）∵由f/(x)=

2x(x+2)

x+1

=0，得x=0，x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
高三数学（理科）答案第3页（共6页）
又f(

1

e

-1)=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，且e2-2＞

1

e2

+2．
∴当x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）的最大值为e²-2．
故当m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）=x²+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
记g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵g/(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
为使方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0.

∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴实数a的取值范围是2-2ln2＜a≤3-2ln3．（14分）