题目

题型：不详难度：来源：

（12分） 设函数（），．
(1) 将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，试写出的解析式及值域；
(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
(3)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

答案

（1），值域为　　　　　　　　
（2）解法一:不等式的解集中的整数恰有3个，
等价于恰有三个整数解，故，　　　　　　
令，由且，
所以函数的一个零点在区间，
则另一个零点一定在区间，　　　　　　　　　　　　　　　
故解之得．　　　　　　　　　　　　　　　　
解法二：恰有三个整数解，故，即，
，
所以，又因为，　
所以，解之得．　　　　　　　　　　
（3）设，则．
所以当时，；当时，．
因此时，取得最小值，
则与的图象在处有公共点．　　　　　　
设与存在 “分界线”，方程为，
即，
由在恒成立，则在恒成立 ．
所以成立，
因此．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
下面证明恒成立．
设，则．
所以当时，；当时，．
因此时取得最大值，则成立．
故所求“分界线”方程为：．

解析

略