题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数,使得函数有唯一的极值,且极值大于?若存在,,求的取值
范围;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)如果对,总有,则称是的凸
函数,如果对,总有,则称是的凹函数.当时,利用定义分析的凹凸性,并加以证明。
答案
(Ⅱ);(Ⅲ)上为凸函数.上为凹函数.
解析
(1)利用定义域和导数来求解函数的单调区间的问题。
(2)因为
显然才有唯一的极值点,利用这一点得到a的不等式,从而求解范围。
(3)根据新的凸函数与凹函数的定义,借助于导数的思想来判定结论。
解:(Ⅰ)当时, ………………2分
递增,递减 ………………4分
(Ⅱ)
显然才有唯一的极值点,它满足
………………6分
消去,得, 方程的正跟比1大
………………8分
故 ………………9分
(Ⅲ)在处取得最小值
故上为凸函数,上为凹函数 ………………11分
下证上为凸函数:
不妨设
令 ……13分
故在上递减,
即上为凸函数.
同理上为凹函数. ………………15分
核心考点
试题【(本题满分15分)已知函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)是否存在实数,使得函数有唯一的极值,且极值大于?若存在,,求的取值范围;若不存在,说明理由;(Ⅲ】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数.
(Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求 的值;
(Ⅱ) 求证:函数存在单调递减区间,并求出单调递减区间的长度 的取值范围.
(1)求函数的单调区间;
(2)当处取得极值时,若关于的方程上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,有
(Ⅰ)求f(x)的表达式.
(Ⅱ)当a=1时,讨论f(x)的单调性
(Ⅲ)设h(x)=(ex—P)2+(x-P)2,证明:h(x)≥
已知函数处取得极值为2.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若图象上的任意一点,直线l与的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内恒成立;
(Ⅲ) 若函数有最小值,且,求实数的取值范围.
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