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题目
题型:不详难度:来源:
(本小题满分15分)
已知函数.
(Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求 的值;
(Ⅱ) 求证:函数存在单调递减区间,并求出单调递减区间的长度 的取值范围.
答案
(Ⅰ).(Ⅱ)以函数的递减区间长度的取值范围是.
解析
本试题主要考查了导数在研究函数中 的运用。
(1)先求解函数的定义域为,函数导数
所以曲线在点处的切线方程为:
因为切线与曲线有唯一的公共点,
所以方程有且只有一个实数解,显然是方程的一个解.
构造函数令,则
对参数m讨论得到结论。
(2))因为.
因为且对称轴为

所以方程内有两个不同实根
结合韦达定理得到结论。
解:(Ⅰ)函数的定义域为
所以曲线在点处的切线方程为:
因为切线与曲线有唯一的公共点,
所以方程有且只有一个实数解,显然是方程的一个解.
,则
①当时,
所以上单调递增,即是方程唯一实数解.
②当时,由
在区间上,;在区间上,
所以函数处有极大值,且
而当,因此内也有一个解.
即当时,不合题目的条件.
综上讨论得.……………………………………………………………………………8分
(Ⅱ).
因为且对称轴为

所以方程内有两个不同实根
的解集为
所以函数的单调递减区间为.

由于,所以
所以函数的递减区间长度的取值范围是.……………………15分
核心考点
试题【(本小题满分15分)已知函数.(Ⅰ) 若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求 的值;(Ⅱ) 求证:函数存在单调递减区间,并求出单调递减区间的长度 的取值】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(本小题满分14分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当处取得极值时,若关于的方程上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)求证:当时,有
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(本小题满分12分)已知函数y=f(x)在定义域(—1+∞)内满足f(o)=0,且f(x)= ,(f(x))是f(x)的导数)
(Ⅰ)求f(x)的表达式.
(Ⅱ)当a=1时,讨论f(x)的单调性
(Ⅲ)设h(x)=(ex—P)2+(x-P)2,证明:h(x)≥
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(本题满分14分) 
已知函数处取得极值为2.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若图象上的任意一点,直线l的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.
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已知函数处的切线斜率为零.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内恒成立;
(Ⅲ) 若函数有最小值,且,求实数的取值范围.
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f(x)=-x2bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1] D.(-∞,-1)

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