题目
题型:模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点P(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;
(2)令,其中n∈N*,求{nbn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式及Sn的最大值;
(2)令,其中n∈N*,求{nbn}的前n项和.
答案
解:(1)因为f(x)=ax2+bx(a≠0),所以f′(x)=2ax+b,
由f′(x)=-2x+7得a=-1,b=7,
所以f(x)=-x2+7x,
又因为点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
所以有,
当n=1时,;
当n≥2时,,
所以,
令an=-2n+8≥0得n≤4,
所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值12;
综上,an=-2n+8(n∈N*),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
(2)由题意得,,
所以,即数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列,
故{nbn}的前n项和,①
,②
所以①-②得,
所以。
由f′(x)=-2x+7得a=-1,b=7,
所以f(x)=-x2+7x,
又因为点Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,
所以有,
当n=1时,;
当n≥2时,,
所以,
令an=-2n+8≥0得n≤4,
所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值12;
综上,an=-2n+8(n∈N*),当n=3或n=4时,Sn取得最大值12.
(2)由题意得,,
所以,即数列{bn}是首项为8,公比为的等比数列,
故{nbn}的前n项和,①
,②
所以①-②得,
所以。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的导函数f′(x)=-2x+7,数列{an}的前n项和为Sn,点P(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f′(x)=g′(x),则f(x)与g(x)满足[ ]
A.f(x)=g(x)
B.f(x)=g(x)=0
C.f(x)-g(x)为常数函数
D.f(x)+g(x)为常数函数
A.f(x)=g(x)
B.f(x)=g(x)=0
C.f(x)-g(x)为常数函数
D.f(x)+g(x)为常数函数
已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则f1()+f2()+…+f2 012()=( )。
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