设函数f(x)=(x+1)2-2klnx. (1)当k=2时,求函数f(x)的增区间; (2)当k<0时,求函数g(x)=f′(x)在区间(0,2]上的最小值. |
解(1)k=2,f(x)=(x+1)2-4lnx. 则f′(x)=2x+2-=(x-1)(x+2)>0,(此处用“≥”同样给分) 注意到x>0,故x>1,于是函数的增区间为(1,+∞).(写为[1,+∞)同样给分) (2)当k<0时,g(x)=f′(x)=2x+2-. g(x)=2(x+)+2≥4+2,当且仅当x=时,上述“≥”中取“=”. ①若∈(0,2],即当k∈[-4,0)时,函数g(x)在区间(0,2]上的最小值为4+2; ②若k<-4,则g′(x)=2(1+)在(0,2]上为负恒成立,故g(x)在区间(0,2]上为减函数, ,于是g(x)在区间(0,2]上的最小值为g(2)=6-k. 综上所述,当k∈[-4,0)时,函数g(x)在区间(0,2]上的最小值为4+2; 当k<-4时,函数g(x)在区间(0,2]上的最小值为6-k. |
核心考点
试题【设函数f(x)=(x+1)2-2klnx.(1)当k=2时,求函数f(x)的增区间;(2)当k<0时,求函数g(x)=f′(x)在区间(0,2]上的最小值.】;主要考察你对
常见函数的导数等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知函数f(x)=ax+2,若f′(1)=2,则a为( ) |
设函数f(x)=sinθ•x3+cosθ•x2+tanθ,其中θ∈[0,],则导数f′(1)的取值范围是______. |
若曲线y=ex+x2在x=1处的切线与直线ax-y+1=0平行,则实数a=______. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数是g(x),a+b+c=0,g(0)•g(1)<0.设x1,x2是方程g(x)=0的两根,则|x1-x2|的取值范围为______. |
已知函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的导函数为f(x),a+b+c=0,且f(0)•f(1)>0,设x1,x2是方程f(x)=0的两个根,则|x1-x2|的取值范围为( ) |