题目

题型：眉山二模难度：来源：

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，则|x₁-x₂|的取值范围为（　　）

A．[ 3 3 ， 2 3 )

B．[ 1 3 ， 4 9 )

C．[ 1 3 ， 3 3 )

D．[ 1 9 ， 1 3 )

答案

由题意得：f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∴|x1-x2|2=(x1+x2) 2-4x₁•x₂=

4b2-12ac

9a2

，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴|x1-x2|2=

4b2+12a(a+b)

9a2

=

12a2+4b2+12ab

9a2

=

4

9

•(

b

a

)2+

4

3

（

b

a

）+

4

3

①，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a²+3ab+b²＜0，
∵a≠0，两边同除以a²得：
(

b

a

)2+3

b

a

+2＜0；
∴-2＜

b

a

＜-1，代入①得|x1-x2|2∈[

1

3

，

4

9

）
∴|x₁-x₂|∈[

3

3

，

2

3

）．
故选A．