题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值;
(2)求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方
(3)(理)求证:[f′(x)]n-f′(xn)≥2n-2(n∈N*)
答案
当x∈[1,e]时,f′(x)>0.∴函数f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)max=f(e)=e2,f(x)min=f(1)=-.
(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=x2+ln x-1-x3
则F′(x)=x+-2x2=
=.
∵当x>1时F′(x)<0,∴函数F(x)在区间(1,+∞)上为减函数,∴F(x)<F(1)=-1-<0,
即在(1,+∞)上,f(x)<g(x).
∴在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
(3)(理)证明:∵f′(x)=x+,
当n=1时,不等式显然成立;当n≥2时,
∵[f′(x)]n-f′(xn)=n-
=Cxn-2+Cxn-3+…+C,①
[f′(x)]n-f′(xn)=C+C+…+Cxn-2,②
①+②得[f′(x)]n-f′(xn)=
≥C+C+…+C=2n-2(当且仅当x=1时“=”成立).
∴当n≥2时,不等式成立.
综上所述得[f′(x)]n-f′(xn)≥2n-2(n∈N+).
解析
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2+ln x-1.(1)求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值;(2)求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段ABC,该曲线段为函数y=
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(1)求
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(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”,如图所示,矩形的一边在道路AE上,一个顶点在扇形半径OD上.记∠POE=
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A.2 | B.1 |
C.0 | D.与a值有关 |
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(1)若存在x<0,使得f′(x)=-9,求a的最大值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的极值.
已知函数
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(Ⅰ)当
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(Ⅱ)当
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点,求
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