题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,试确定函数在其定义域内的单调性;
(2)求函数在上的最小值;
(3)试证明:.
答案
(2);(3)详见解析.
解析
试题分析:(1)先求出函数的定义域求出,然后将代入函数的解析式,求出导数,并利用导数求出函数的减区间与增区间 ;(2)求出,并求出方程的,对的符号以及是否在区间内进行分类讨论,结合函数的单调性确定函数在上的最小值;(3)利用分析法将不等式等价转化为,然后令,将原不等式等价转化为在,利用(1)中的结论进行证明.
试题解析:(1)函数的定义域为,当时,,则,
解不等式,得;解不等式,得,
故函数的单调递减区间为,单调递增区间为;
(2),,
当时,,,此时函数在区间上单调递减,
函数在处取得最小值,即;
当时,令,
当时,即当,,,此时函数在区间上单调递减,
函数在处取得最小值,即;
当,即当时,当,,当时,,
此时函数在处取得极小值,亦即最小值,
即,
综上所述,;
(3)要证不等式,即证不等式,即证不等式,
即证不等式,
令,则 则,故原不等式等价于,
即不等式在上恒成立,
由(1)知,当时,函数在区间上单调递增,
即函数在区间上单调递增,故,
故有,因此不等式在上恒成立,故原不等式得证,
即对任意,.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.
(I)求f(x)的单调区间及极值;
(II)若关于x的不等式恒成立,求实数a的集合.
(1)当时,求函数的最大值;
(2)令()其图象上任意一点处切线的斜率≤ 恒成立,求实数的取值范围;
(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
(1)讨论函数的单调性;(2)若,设,
(ⅰ)求证g(x)为单调递增函数;
(ⅱ)求证对任意x,x,xx,有.
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