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题目
题型:不详难度:来源:
已知f(x)=xln xg(x)=x3ax2x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[tt+2](t>0)上的最小值;
(3)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)的递减区间是,递增区间为(2)f(x)min(3)[-2,+∞)
解析
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ln x+1,
f′(x)<0,得0<x
f′(x)>0,得x.
f(x)的递减区间是,递增区间为.
(2)(ⅰ)当0<tt+2<时,无解.
(ⅱ)当0<tt+2,即0<t
由(1)知,f(x)minf=-.
(ⅲ)当tt+2,即t时,
f(x)在区间[tt+2]上递增,f(x)minf(t)=tln t.
因此f(x)min
(3)2f(x)<g′(x)+2,得2xln x≤3x2+2ax+1.
x>0,∴a≥ln x-x-.设h(x)=ln x-x-
h′(x)=-+=-.
h′(x)=0,得x=1,x=- (舍).
当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)在(0,1)上单调递增;
x>1时,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴当x=1时,h(x)取得最大值h(x)max=-2.
a≥-2.
a的取值范围是[-2,+∞).
核心考点
试题【已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)对一切】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=+ln x,若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数a的取值范围是______.
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已知函数f(x)=-aln xx(a≠0),
(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
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已知函数f(x)=ax+ln xg(x)=ex.
(1)当a≤0时,求f(x)的单调区间;
(2)若不等式g(x)< 有解,求实数m的取值范围.
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已知函数f(x)=axln x图象上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x平行,g(x)=x2tx-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[nn+2](n>0)上的最小值;
(3)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
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已知函数f(x)=x∈(1,+∞).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
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