题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
答案
解析
由f′(x)=0,得x1=1,或x2=2a-1.
①当2a-1≤1,即a≤1时,在(1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减;
②当2a-1>1,即a>1时,在(1,2a-1)上,f′(x)>0,f(x)单调递增,在(2a-1,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,a≤1时,f(x)的减区间为(1,+∞);a>1时,f(x)的增区间为(1,2a-1),f(x)的减区间为(2a-1,+∞).
(2)①当a≤1时,由(1)知f(x)在[2,+∞)上单调递减,不存在最小值;
②当a>1时,若2a-1≤2,即a≤时,f(x)在[2,+∞)上单调递减,不存在最小值;
若2a-1>2,即a> 时,f(x)在[2,2a-1)上单调递增,在(2a-1,+∞)上单调递减,因为f(2a-1)=>0,且当x>2a-1时,x-a>a-1>0,所以当x≥2a-1时,f(x)>0.又因为f(2)=2-a,所以当2-a≤0,即a≥2时,f(x)有最小值2-a;当2-a>0,即<a<2时,f(x)没有最小值.
综上所述:当a≥2时,f(x)有最小值2-a;当a<2时,f(x)没有最小值.
核心考点
试题【已知函数f(x)=,x∈(1,+∞).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)函数f(x)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求k的值及F(x)的单调区间;
(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2 (f′(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证:×…×< (n≥2,n∈N*)
(1)求函数的单调区间;
(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
(1)若k=,求证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>1;
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值范围;
(3)求证:<e4(n∈N*)..
(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
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