题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝(ax²－2x＋a)·e^－x.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝－－a－2，h(x)＝x²－2x－ln x，若x＞1时总有g(x)＜h(x)，求实数a的取值范围．

答案

（1）单调递增区间为(1,3)，单调递减区间为(－∞，1)，(3，＋∞)．（2）－≤a≤

解析

(1)当a＝1时，函数f(x)＝，其定义域为R.
f′(x)＝
由f′(x)＞0，得1＜x＜3，由f′(x)＜0，得x＜1或x＞3，
∴函数f (x)的单调递增区间为(1,3)，单调递减区间为(－∞，1)，(3，＋∞)．
(2)∵f′(x)＝，
∴g(x)＝－－a－2＝ax²－2(a＋1)x，
令φ(x)＝g(x)－h(x)＝x²－2ax＋ln x(x＞1)，
当x＞1时总有g(x)＜h(x)等价于φ(x)＜0在(1，＋∞)上恒成立．
φ′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝.
①若a＞，令φ′(x)＝0得x₁＝1，x₂＝.
当x₂＞x₁＝1，即＜a＜1时，在(1，x₂)上φ′(x)＜0，则φ(x)单调递减；
在(x₂，＋∞)上φ′(x)＞0，则φ(x)单调递增．
故φ(x)的值域为[φ(x₂)，＋∞)，不合题意，舍去．
当x₂≤x₁＝1，即a≥1时，同理可得φ(x)在(1，＋∞)上单调递增，
故φ(x)的值域为(φ(1)，＋∞)，不合题意，舍去．
②若a≤，即2a－1≤0时，在区间(1，＋∞)上恒有φ′(x)＜0，则φ(x)单调递减，φ(x)＜φ(1)＝－a－≤0，
∴－≤a≤