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题目
题型:专项题难度:来源:
已知函数f(x)=x3-mx2+mx(m>0),
(Ⅰ)当m=2时,求函数y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性;
(Ⅲ)若函数f(x)既有极大值,又有极小值,且当0≤x≤4m时,f(x)<mx2+恒成立,求m的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)当m=2时,
则f′(x)=x2-4x+3,
故f′(0)=3,函数y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程为y=3x;
(Ⅱ)f′(x)=
,又m>0,即时,f′(x)≥0,
则函数y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;
,又m>0,即时,
由f′(x)>0,得
由f′(x)<0,得
故函数f(x)在区间上是增函数,
在区间上是减函数;
(Ⅲ)因为函数f(x)既有极大值,又有极小值,
则f′(x)==0有两个不同的根,
则有Δ=4m2-6m>0,
又m>0,∴
令g(x)=f(x)-
g′(x)=x2-4mx+3m2=0x=m,或x=3m,
∴g′(x)>0x<m或x>3m,g′(x)<0m<x<3m,
∴g(x)在[0,m),(3m,4m]上为增函数,在(m,3m)上为减函数,
,g(3m)=0为g(x)的极值,
又g(0)=0,g(4m)=
∴g(x)最大值为

即m的取值范围为
核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-mx2+mx(m>0),(Ⅰ)当m=2时,求函数y=f(x)的图象在点(0,0)处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性;(Ⅲ)】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知对任意的实数m,直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x3-3ax(a∈R)相切,
(Ⅰ)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于,试证明你的结论。
题型:福建省模拟题难度:| 查看答案
已知a>0,函数,g(x)=-ax+1,x∈R,
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)在点(1,f(1))的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[-1,1]的极值;
(Ⅲ)若在区间上至少存在一个实数x0,使f(x0)>g(x0)成立,求正实数a的取值范围。
题型:天津模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax-(a+1)lnx(a<-1),
(Ⅰ)若函数f(x)在x=2处的切线与x轴平行,求a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求出f(x)的极值;
(Ⅲ)若对任意的x∈[1,-a],有|x·f′(x)|≤2a2恒成立,求a的取值范围。
题型:湖南省模拟题难度:| 查看答案
曲线y=x3-3x在点(0,0)处的切线方程为[     ]
A.y=-x
B.y=-3x
C.y=x
D.y=3x
题型:模拟题难度:| 查看答案
曲线在点(π,0)处的切线方程为(    )。
题型:吉林省模拟题难度:| 查看答案
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