题目

题型：专项题难度：来源：

已知函数f(x)=x³-mx²+mx(m＞0)，
(Ⅰ)当m=2时，求函数y=f(x)的图象在点(0，0)处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的单调性；
(Ⅲ)若函数f(x)既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f(x)＜mx²+恒成立，求m的取值范围。

答案

解：(Ⅰ)当m=2时，，
则f′(x)=x²-4x+3，
故f′(0)=3，函数y=f(x)的图象在点(0，0)处的切线方程为y=3x；
(Ⅱ)f′(x)=，
当，又m＞0，即时，f′(x)≥0，
则函数y=f(x)在(-∞，+∞)上是增函数；
当，又m＞0，即时，
由f′(x)＞0，得，
由f′(x)＜0，得，
故函数f(x)在区间上是增函数，
在区间上是减函数；
(Ⅲ)因为函数f(x)既有极大值，又有极小值，
则f′(x)==0有两个不同的根，
则有Δ=4m²-6m＞0，
又m＞0，∴，
令g(x)=f(x)-，
g′(x)=x²-4mx+3m²=0x=m，或x=3m，
∴g′(x)＞0x＜m或x＞3m，g′(x)＜0m＜x＜3m，
∴g(x)在[0，m)，(3m，4m]上为增函数，在(m，3m)上为减函数，
∴，g(3m)=0为g(x)的极值，
又g(0)=0，g(4m)=，
∴g(x)最大值为，
∴，
即m的取值范围为。