题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x³-3ax(a∈R)相切，
(Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当x∈[-1，1]时，函数y=f(x)的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于，试证明你的结论。

答案

解：(Ⅰ)f′(x)=3x²-3a∈[-3a，+∞)，
∵对任意m∈R，直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切，
∴-1[-3a，+∞)，-1＜-3a，实数a的取值范围是；
(Ⅱ)存在，
证明：问题等价于当x∈[-1，1]时，，
设g(x)=|f(x)|，则g(x)在x∈[-1，1]上是偶函数，
故只要证明当x∈[0，1]时，，
①当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)=0，
g(x)=f(x)，g(x)_max=f(1)=1-3a＞1＞；
②当时，f′(x)=3x²-3a=，
列表：

f(x)在上递减，在上递增，
注意到，且，
∴时，g(x)=-f(x)，时，g(x)=f(x)，
∴，
由，解得，此时成立，
∴，
由，解得，此时成立．
∴，
∴在x∈[-1，1]上至少存在一个x₀，使得成立。