题目

题型：天津模拟题难度：来源：

已知a＞0，函数，g(x)=-ax+1，x∈R，
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)在点(1，f(1))的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)在[-1，1]的极值；
(Ⅲ)若在区间上至少存在一个实数x₀，使f(x₀)＞g(x₀)成立，求正实数a的取值范围。

答案

解：由，
求导得，f′(x)=a²x²-2ax，
(Ⅰ)当a=1时，f′(1)=-1，f(1)=0，
所以f(x)在点(1，f(1))的切线方程是y=-x+1；
(Ⅱ)令f′(x)=0得x₁=0，，
(1)当即a＞2时，

故f(x)的极大值是，极小值是；
(2)当即0＜a≤2时，f(x)在(-1，0)上递增，在(0，1)上递减，
所以f(x)的极大值为，无极小值；
(Ⅲ)设F(x)=f(x)-g(x)，
对F(x)求导，得F′(x)=a²x²-2ax+a=a²x²+a(1-2x)，
因为，a＞0，所以F′(x)=a²x²+a(1-2x)＞0，
F(x)在区间上为增函数，则，
依题意，只需F(x)_max＞0，
即，即a²+6a-8＞0，
解得(舍去)，
所以正实数a的取值范围是。