题目
题型:广东省模拟题难度:来源:
f(x)的导数f"(x)满足0<f"(x)<1.”
(I)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(II)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意
[m,n]D,都存在x0∈(m,n),使得等式f(n)﹣f(m)=(n﹣m)f"(x0)成立.试用这一性质证明:方程f(x)﹣x=0只有一个实数根;
(III)设x1是方程f(x)﹣x=0的实数根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2﹣x1|<1,且|x3﹣x1|<1时,有|f(x3)﹣f(x2)|<2.
答案
又因为当x=0时,f(0)=0,
所以方程f(x)﹣x=0有实数根0.
所以函数是的集合M中的元素.
(II)假设方程f(x)﹣x=0存在两个实数根α,β(α≠β),
则f(α)﹣α=0,f(β)﹣β=0不妨设α<β,根据题意存在数c(α,β)
使得等式f(β)﹣f(α)=(β﹣α)f"(c)成立.
因为f(α)=α,f(β)=β,且α≠β,
所以f"(c)=1,
与已知0<f"(x)<1矛盾,
所以方程f(x)﹣x=0只有一个实数根;
(III)不妨设x2<x3,因为f"(x)>0,
所以f(x)为增函数,
所以f(x2)<f(x3),
又因为f"(x)﹣1<0,
所以函数f(x)﹣x为减函数,
所以f(x2)﹣x2>f(x3)﹣x3,
所以0<f(x3)﹣f(x2)<x3﹣x2,
即|f(x3)﹣f(x2)|<|x3﹣x2|,
所以|f(x3)﹣f(x2)|<|x3﹣x2|=|x3﹣x1﹣(x2﹣x1)|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|<2
核心考点
试题【设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)﹣x=0有实数根;②函数f(x)的导数f"(x)满足0<f"(x)<1.”(I)判断函数是否是集合】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.α<γ<β
C.γ<α<β
D.β<α<γ
B.7
C.5
D.6
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程;
(2)当x≥1时,若关于x的不等式f(x)≥+(a﹣3)x+1恒成立,试求实数a的取值范围.
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