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题目
题型:月考题难度:来源:
已知函数f(x)=,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
答案

解:当a=1时,f(x)=,f(2)=3;
f′(x)=3x2﹣3x,f′(2)=6.
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
y﹣3=6(x﹣2),即y=6x﹣9;
(Ⅱ)解:f′(x)=3ax2﹣3x=3x(ax﹣1).
令f′(x)=0,解得x=0或x=
以下分两种情况讨论:
(1)若0<a≤2,则
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表

时,f(x)>0,
等价于
解不等式组得﹣5<a<5.因此0<a≤2;
(2)若a>2,则当x变化时,
f′(x),f(x)的变化情况如下表
时,f(x)>0
等价于
解不等式组得
因此2<a<5.
综合(1)和(2),可知a的取值范围为0<a<5
核心考点
试题【已知函数f(x)=,其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=lnx+2xf"(1)(x>0),其中f"(x)是f(x)的导函数,则在点P(1,f(1))处的切线方程为(    ).
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曲线y=x3﹣3x2+1在点(2,﹣3)处的切线方程为   [     ]
A.y=﹣3x+3
B.y=﹣3x+1
C.y=﹣3
D.x=2
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曲线y=x3﹣3x2+1在点(2,﹣3)处的切线方程为
 [     ]
A.y=﹣3x+3
B.y=﹣3x+1
C.y=﹣3
D.x=2
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一质点的运动方程为s=5﹣3t2,则在一段时间[1,1+△t]内相应的平均速度为(    ).
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若直线y=kx﹣3与曲线y=2lnx相切,则实数k=(    ).
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