当前位置:高中试题 > 数学试题 > 导数的意义 > 设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值....
题目
题型:南京一模难度:来源:
设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值.
答案
解(1)当a=1时,f(x)=x2+|lnx-1|
令x=1得f(1)=2,f"(1)=1,所以切点为(1,2),切线的斜率为1,
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为:x-y+1=0.
(2)①当x≥e时,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+
a
x
(x≥e)
∵a>0,
∴f(x)>0恒成立.
∴f(x)在[e,+∞)上增函数.
故当x=e时,ymin=f(e)=e2
②当1≤x<e时,f(x)=x2-alnx+1,
f′(x)=2x-
a
x
=
2
x
(x+


a
2
)(x-


a
2
)
(1≤x<e)
(i)当


a
2
≤1
,即0<a≤2时,f"(x)在x∈(1,e)时为正数,
所以f(x)在区间[1,e)上为增函数.
故当x=1时,ymin=1+a,且此时f(1)<f(e)
(ii)当1<


a
2
<e
,即2<a<2e2时,
f"(x)在x∈(1,


a
2
)
时为负数,在间x∈(


a
2
,e
)
时为正数
所以f(x)在区间[1,


a
2
)
上为减函数,在(


a
2
,e]
上为增函数
故当x=


a
2
时,ymin=
3a
2
-
a
2
ln
a
2

且此时f(


a
2
)<f(e)

(iii)当


a
2
≥e
;即a≥2e2时,
f"(x)在x∈(1,e)时为负数,
所以f(x)在区间[1,e]上为减函数,
当x=e时,ymin=f(e)=e2
综上所述,当a≥2e2时,f(x)在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2
所以此时f(x)的最小值为f(e)=e2
当2<a<2e2时,f(x)在x≥e时的最小值为f(


a
2
)=
3a
2
-
a
2
ln
a
2

f(


a
2
)<f(e)

所以此时f(x)的最小值为f(


a
2
)=
3a
2
-
a
2
ln
a
2

当0<a≤2时,在x≥e时最小值为e2,在1≤x<e时的最小值为f(1)=1+a,
而f(1)<f(e),所以此时f(x)的最小值为f(1)=1+a
所以函数y=f(x)的最小值为ymin=





1+a,0<a≤2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
,2<a≤2e2
e2,a>2e2
核心考点
试题【设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值.】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
lim
△x→0
f(x0+3△x)-f(x0)
△x
=1
,则f"(x0)等于(  )
A.1B.0C.3D.
1
3
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数y=ex的图象在点(akeak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,a1=0,则a1+a3+a5=______.
题型:不详难度:| 查看答案
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
,则它的对称中心为______;计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,(a为常数,e为自然对数的底).
(Ⅰ)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由.
题型:晋中三模难度:| 查看答案
已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为(  )
A.(x-1)3+3(x-1)B.2(x-1)2C.2(x-1)D.x-1
题型:湖北难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.