题目

题型：南京一模难度：来源：

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当x∈[1，+∞）时，求函数f（x）的最小值．

答案

解（1）当a=1时，f（x）=x²+|lnx-1|
令x=1得f（1）=2，f"（1）=1，所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：x-y+1=0．
（2）①当x≥e时，f（x）=x²+alnx-a，f′(x)=2x+

a

x

（x≥e）
∵a＞0，
∴f（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，y_min=f（e）=e²
②当1≤x＜e时，f（x）=x²-alnx+1，
f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)（1≤x＜e）
（i）当

a 2

≤1，即0＜a≤2时，f"（x）在x∈（1，e）时为正数，
所以f（x）在区间[1，e）上为增函数．
故当x=1时，y_min=1+a，且此时f（1）＜f（e）
（ii）当1＜

a 2

＜e，即2＜a＜2e²时，
f"（x）在x∈(1，

a 2

)时为负数，在间x∈(

a 2 ，e

)时为正数
所以f（x）在区间[1，

a 2

)上为减函数，在(

a 2

，e]上为增函数
故当x=

a 2

时，ymin=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
且此时f(

a 2

)＜f(e)
（iii）当

a 2

≥e；即a≥2e²时，
f"（x）在x∈（1，e）时为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
当x=e时，y_min=f（e）=e²．
综上所述，当a≥2e²时，f（x）在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e²．
所以此时f（x）的最小值为f（e）=e²；
当2＜a＜2e²时，f（x）在x≥e时的最小值为f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
而f(

a 2

)＜f(e)，
所以此时f（x）的最小值为f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

．
当0＜a≤2时，在x≥e时最小值为e²，在1≤x＜e时的最小值为f（1）=1+a，
而f（1）＜f（e），所以此时f（x）的最小值为f（1）=1+a
所以函数y=f（x）的最小值为ymin=

1+a，0＜a≤2 3a 2 - a 2 ln a 2 ，2＜a≤2e2 e2，a＞2e2