题目
题型:不详难度:来源:
已知定义在R上的函数的图像关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结论.
答案
所以对任意恒成立,
即对任意恒成立,
所以恒成立,故,…………………3分
故,
又时,取极小值,所以,且,
所以………………①
……………………②
解得:,;
所以,()…………………………………………………6分
(Ⅱ)当时,图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直.
证明如下:(方法1,用反证法)
①假设在的图像上存在两点,,使得在此两点处的切线互相垂直,由(Ⅰ) 可知,且在两点处的切线斜率均存在.
由假设则有,…………………………8分
从而,
另一方面,,所以,所以,
与前式显然矛盾.所以,
当时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.………………12分
(方法2)
设,为的图像上两点,由(Ⅰ) 可知,
且在点和点处的两条切线的斜率均存在.
不妨设在点处的切线斜率为,在点处的切线斜率为,
则,;………………8分
所以 ,
由题意,,
所以,即
综上所述,当时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.……12分
解析
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知定义在R上的函数的图像关于原点对称,且x=1时,f(x)取极小值.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,图像上是否存在两】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.f(x)=0 | B.f(x)>0 | C.f(x)<0 | D.不能确定 |
A.(-1,0) | B.(0,-2) |
C.(-1,-4)或(1,0) | D.(1,4) |
已知函数;.
(1)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数,求实数的取值范围;
(3)若,函数在上的上界是,求的取值范围.
(1)求证:;(2)求证:;
(3)若函数,求证:当且时,.
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