题目

题型：不详难度：来源：

设函数，（为自然对数的底）.
（1）求函数的极值；
（2）若存在常数和，使得函数和对其定义域内的任意实数分别满足和，则称直线：为函数和的“隔离直线”.试问：函数和是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由.

答案

（1）最小值为0
（2）存在唯一的“隔离直线”

解析

（1）

当时，，当时，，当时，
在处去的最小值为0
（2）由（1）知当时，，（仅当取等号）
若存在“隔离直线”，则存在常数k和b，使得
恒成立
的图像在处有公共点，
因此若存在的“隔离直线”，则该直线必过这个公共点
设该直线为
恒成立，恒成立，得

以下证明，当时恒成立

∴当时有为0,也就是最大值为0．从而,即恒成立．故函数和存在唯一的“隔离直线”．……………12分