给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a1,a2,a3,….,试求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值. |
设公差为d,an+1=a, 则S=an+1+an+2+…a2n+1是以an+1=a为首项,d为公差的等差数列的前(n+1)项和, 所以S=an+1+an+2+…a2n+1=(n+1)a+d. 同除以(n+1),得 a+=. 则M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2= (a+)2+(4a-3nd)2≥()2 因此|S|≤(n+1), 且当 a=,d=• 时, S=(n+1)〔+••〕 =(n+1)=(n+1) 由于此时4a=3nd,故 a12+an+12=()2=•M=M. 所以,S的最大值为(n+1). |
核心考点
试题【给定正整数 n 和正数 M,对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a1,a2,a3,….,试求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值.】;主要考察你对
数列综合等知识点的理解。
[详细]
举一反三
各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有______项. |
已知数列{an}满足an=n•2n,则其前n项和是( )A.(n-1)2n+1-2 | B.(n-1)2n+1+2 | C.(n-1)2n-2 | D.(n-1)2n+2 |
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已知数列{an}的首项为1,对任意的n∈N*,定义bn=an+1-an. (Ⅰ) 若bn=n+1,求a4; (Ⅱ) 若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=a,b2=b(ab≠0). (ⅰ)当a=1,b=2时,求数列{bn}的前3n项和; (ⅱ)当a=1时,求证:数列{an}中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次. |
已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则下面正确的是( )A.x100=-a,S100=2b-a | B.x100=-b,S100=2b-a | C.x100=-b,S100=b-a | D.x100=-a,S100=b-a |
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对于数列{an},定义数列{an+1-an}为{an}的“差数列”. (I)若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列,试写出{an}的一个通项公式; (II)若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,求数列{an}的前n项和Sn; (III)对于(II)中的数列{an},若数列{bn}满足anbnbn+1=-21•28(n∈N*),且b4=-7. 求:①数列{bn}的通项公式;②当数列{bn}前n项的积最大时n的值. |