题目

题型：不详难度：来源：

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

答案

（1）由已知得：a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d…（2分）
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
∴3d²-6d=0
∵d＞0，∴d=2
∴a_n=2n-1，b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
∴bn=3n-1                 …（6分）
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1得，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an(n≥2)…（9分）
两式相减得

cn

bn

=an+1-an=2，
∴cn=2bn=2×3n-1(n≥2)
n=1时，c₁=3
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₃=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹²=3²⁰¹³…（12分）