设数列满足a1=2，an+1-an=3•22n-1（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列的前n项和Sn． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：宁夏难度：来源：

设数列满足a₁=2，a_n+1-a_n=3•2^2n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列的前n项和S_n．

答案

（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a_n+1=[（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）]+a₁
=3（2^2n-1+2^2n-3+…+2）+2=2^2（n+1）-1．
而a₁=2，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^2n-1．
（Ⅱ）由b_n=na_n=n•2^2n-1知S_n=1•2+2•2³+3•2⁵+…+n•2^2n-1①
从而2²S_n=1•2³+2•2⁵+…+n•2²ⁿ⁺¹②
①-②得（1-2²）•S_n=2+2³+2⁵+…+2^2n-1-n•2²ⁿ⁺¹．
即Sn=

[(3n-1)22n+1+2]．

核心考点

试题【设数列满足a1=2，an+1-an=3•22n-1（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=nan，求数列的前n项和Sn．】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设Tn=

+…+

，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值．

题型：东城区模拟难度：| 查看答案

等差数列{a_n} 中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列 {b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{

}的前n项和．

题型：花都区模拟难度：| 查看答案

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+6=a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前n项和S_n．

题型：长宁区二模难度：| 查看答案

已知数列{a_n}为首项a₁≠0，公差为d≠0的等差数列，求S_n=

a1a2

a2a3

+…+

anan+1

．

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定义“和常数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项和都为同一个常数，那么这个数列叫做常数列，这个常数叫做该数列的和常．已知数列{a_n}是和常数列，且a₁=2，和常为5，那么a₁₈的值为______；若n为偶数，则这个数的前n项和S_n的计算公式为______．

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