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题目
题型:广州一模难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,Sn=nan+2-
n(n-1)
2
,(n≥2,n∈N*)

(I)求数列{an}的通项公式;
(II) 已知bn>an,(n≥2,n∈N*),求证:(1+
1
b2b3
)(1+
1
b3b4
)(1+
1
b4b5
)…(1+
1
bnbn+1
3e

答案
(I)当n≥3时,由sn=nan+2-
n(n-1)
2

Sn-1=(n-1)an-1+2-
(n-1)(n-2)
2

可得an=nan-(n-1)an-1-
n-1
2
×2

故an-an-1=1(n≥3,n∈N+).
所以an=





4     n=1
n+1      n≥2

(II)设f(x)=ln(1+x)-x,则f"(x)=
1
1+x
-1=
-x
1+x
<0,
故f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)<f(0),即ln(1+x)<x
∵n≥2时,
1
bn
1
an
=
1
n+1
,ln(1+
1
bnbn+1
)<
1
bnbn+1
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
-
1
n+2

∴ln(1+
1
b2b3
)+ln(1+
1
b3• b4
)+…+ln(1+
1
bnbn+1
)<
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
n+1
-
1
n+2
=
1
3
-
1
n+2
1
3

∴(1+
1
b2b3
)(1+
1
b3b4
)(1+
1
b4b5
)…(1+
1
bnbn+1
3e

核心考点
试题【已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=4,Sn=nan+2-n(n-1)2,(n≥2,n∈N*).(I)求数列{an}的通项公式;(II) 已知bn>an,】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且a1=b1,a3+b5=21,a5+b3=13,
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若数列{
an
bn
}的前n项和为Sn,试比较Sn与4的大小关系.
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}各项均为正数,前n项和Sn满足Sn=
1
2
a2n
+
1
2
an-3
,(n∈N*),数列{bn}满足:点列An(n,bn)在直线2x-y+1=0
(Ⅰ)分别求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记Tn为数列{cn}的前n项和,且cn=bn2an-2,求Tn
(Ⅲ)若对任意的n∈N*不等式
an+1
(1+
1
b1+1
)•(1+
1
b2+1
)…(1+
1
bn+1
)
-
an


n+2+an
≤0
恒成立,求正实数a的取值范围.
题型:顺义区一模难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2(Sn+1)=n,则an=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知在数列{an}中,Sn是前n项和,满足Sn+an=n,(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)求a1,a2,a3的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)令bn=(2-n)(an-1)(n=1,2,3,…),求数列{bn}的前n项和Tn
题型:河北区一模难度:| 查看答案
各项均为正数的数列{an},a1=
1
2
a2=
4
5
,且对满足m+n=p+q的任意正整数m,n,p,q都有
am+an
(1+am)(1+an)
=
ap+aq
(1+ap)(1+aq)

(I)求通项an
(II)记cn=an+1-an(n∈N*),设数列{cn}的前n项和为Tn,求证:对任意正整数n都有Tn
2
3
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