题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝1，且a_n＋2S_nS_n－1＝0(n≥2)，
(1)求数列{S_n}的通项公式；
(2)设S_n＝，b_n＝f()＋1.记P_n＝S₁S₂＋S₂S₃＋…＋S_nS_n＋1，T_n＝b₁b₂＋b₂b₃＋…＋b_nb_n＋1，试求T_n，并证明P_n<.

答案

(1)解：∵a_n＋2S_nS_n－1＝0(n≥2)，
∴S_n－S_n－1＋2S_nS_n－1＝0.　　　　　　　　　　---------3分
∴－＝2.又∵a₁＝1 ，               ---------------5分
∴S_n＝(n∈N_＋)．                   ---------------7分
(2)证明：∵S_n＝，∴f(n)＝2n－1.--------------------------8分
∴b_n＝2()－1＋1＝()^n－1.---------------------------------------9分
T_n＝()⁰·()¹＋()¹·()²＋…＋()^n－1·()ⁿ
＝()¹＋()³＋()⁵＋…＋()^2n－1
＝[1－()ⁿ]．-------------------------------------------------------11分

解析

略