题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数，
（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。

答案

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，
即（）²=²矛盾，
所以｛a_n｝不是等比数列。
（Ⅱ）证明：∵
，
又λ≠-18，
∴，
由上式知，
∴，
故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以-（λ+18）为首项，为公比的等比数列。
（Ⅲ）解：当λ≠-18时，由（Ⅱ）得，
于是，
当λ=-18时，，从而，上式仍成立.
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12，
即，
令，则
当n为正奇数时，；当n为正偶数时，1；
∴f（n）的最大值为，
于是可得，
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12，
λ的取值范围为。