题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数。（1）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0＜a＜b，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）假设存在一个实数λ，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₃，
即
矛盾
所以{a_n}不是等比数列。
（2）因为b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹[a_n+1-3（n+1）+21]=（-1）ⁿ⁺¹（a_n-2n+14）

又b₁=-（λ+18）
所以
当λ=-18，b_n=0（n∈N⁺），此时{b_n}不是等比数列
当λ≠-18时，b₁=（λ+18）≠0，由上可知b_n≠0，
∴
故当λ≠-18时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列。
（3）由（2）知，当λ=-18，b_n=0，S_n=0，不满足题目要求
∴λ≠-18，
故知b_n=-（λ+18）·，于是可得

要使a＜S_n＜b对任意正整数n成立，
即a＜-（λ+18）·[1-（-）ⁿ]＜b（n∈N⁺）
得
令f（n）=1-（-）ⁿ
则①当n为正奇数时，；
当n为正偶数时，，
∴f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=
于是，由①得a＜-（λ+18）＜
当a＜b≤3a时，由-b-18≥-3a-18，不存在实数满足题目要求；
当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范围是（-b-18，-3a-18）。