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题目
题型:怀柔区二模难度:来源:
已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(n∈N*).若数列{bn}
是一个非零常数列,则称数列{an}是一阶等差数列;若数列{cn}是一个非零常数列,则称数列{an}是二阶等差数列.
(Ⅰ)试写出满足条件a1=1,b1=1,cn=1的二阶等差数列{an}的前五项;
(Ⅱ)求满足条件(Ⅰ)的二阶等差数列{an}的通项公式an
(Ⅲ)若数列{an}的首项a1=2,且满足cn-bn+1+3an=-2n+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
答案
(Ⅰ)a1=1,
a2=b1+a1=2,b2=c1+b1=2
∴a3=b2+a2=4,同样的道理求得a4=7,a5=1
(Ⅱ)依题意bn+1-bn=cn=1,n=1,2,3
所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+…+(b2-b1)+b1
=1+1+1+1+…+1=n
又an+1-an=bn=n,n=1,2,3,
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+2+1+1=
n(n-1)
2
+1=
n2-n+2
2

(Ⅲ)由已知cn-bn+1+3an=-2n+1,可得bn+1-bn-bn+1+3an=-2n+1
即bn-3an=2n+1
整理得:an+1+2n+1=4(an+2n),
因而数列{an+2n}的首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,
∴an+2n=4•4n-1=4n
即an=4n-2n
核心考点
试题【已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(n∈N*).若数列{bn}是一个非零常数列,则称数列{an}是一阶】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x•3n-1-
1
6
,则x的值为(  )
A.
1
3
B.-
1
3
C.
1
2
D.-
1
2
题型:石景山区一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn))处的切线与x轴的交点为(xn+1,0)(n∈N*),其中x1为正实数.
(Ⅰ)用xn表示xn+1
(Ⅱ)若x1=4,记an=lg
xn+2
xn-2
,证明数列{an}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅲ)若x1=4,bn=xn-2,Tn是数列{bn}的前n项和,证明Tn<3.
题型:四川难度:| 查看答案
在等比数列{an}中,若a1+a2+a3=
7
4
a2=
1
2
,则
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
=______.
题型:宁波模拟难度:| 查看答案
已知数列{an}中,a1=-1,且 (n+1)an,(n+2)an+1,n 成等差数列.
(Ⅰ)设bn=(n+1)an-n+2,求证:数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)求{an}的通项公式;
(Ⅲ)(仅理科做) 若an-bn≤kn对一切n∈N*恒成立,求实数k的取值范围.
题型:江苏二模难度:| 查看答案
若x是1+2y与1-2y的等比中项,则xy的最大值为______.
题型:浦东新区二模难度:| 查看答案
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