题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1；数列{b_n}满足b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，b₁＝1.
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)求数列的前n项和T_n.

答案

（1）a_n＝2^n－1，b_n＝（2）(n－1)·2ⁿ＋1.

解析

(1)由S_n＝2a_n－1，得S₁＝2a₁－1，∴a₁＝1.
又S_n＝2a_n－1，S_n－1＝2a_n－1－1(n≥2)，
两式相减，得S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1，a_n＝2a_n－2a_n－1.
∴a_n＝2a_n－1，n≥2.∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴a_n＝1·2^n－1＝2^n－1.
由b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，得－＝1.
又b₁＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．
∴＝1＋(n－1)·1＝n.∴b_n＝.
(2)由(1)可知＝n·2^n－1，
∵T_n＝1·2⁰＋2·2¹＋…＋n·2^n－1，∴2T_n＝1·2¹＋2·2²＋…＋n·2ⁿ.
两式相减，得－T_n＝1＋2¹＋…＋2^n－1－n·2ⁿ＝－n·2ⁿ＝－1＋2ⁿ－n·2ⁿ.
∴T_n＝(n－1)·2ⁿ＋1