已知等差数列{an}的公差d∈N*，且a1=16，若数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项，则d的所有可能取值的和为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知等差数列{a_n}的公差d∈N^*，且a₁=16，若数列{a_n}中任意两项之和仍是该数列中的一项，则d的所有可能取值的和为______．

答案

设等差数列的公差为d，则a_n=16+（n-1）d．
所以数列{a_n}中任意两项之和a_m+a_n=16+（m-1）d+16+（n-1）d=32+（m+n-2）d
设任意一项为a_k=16+（k-1）d．
则由a_m+a_n=a_k⇒16=-（m+n-k-1）d⇒d=

k+1-m-n

．
又因为k，m，n，d∈N^*，
∴m+n-k-1=1，2，4，8，16
∴d=1，2，4，8，16．
∴d的所有可能取值的和为1+2+4+8+16=31．
故答案为31．

核心考点

试题【已知等差数列{an}的公差d∈N*，且a1=16，若数列{an}中任意两项之和仍是该数列中的一项，则d的所有可能取值的和为______．】；主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]

举一反三

设S_n为等差数列{a_n}的前n项的和，已知a₁+a₂+a₆=15，S₇≥49．
（1）求a₃及S₅的值；（2）求公差d的取值范围；（3）求证：S₈≥64．

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等差数列{a_n}中前n项和为S_n，a₁₀＜0，a₁₀+a₁₁＞0，则在数列{S_n}中最大的负数项为第______项．

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在公差不为零的等差数列{a_n}中，S_m=S_n（m≠n），则S_m+n值是 ______．

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已知首项为a（a≠0）的数列{a_n}的前n项和为S_n，，若对任意的正整数m、n，都有

)2．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若a=1，数列{b_n}的首项为b（b≠1），第n（n∈N^*，n≥2）项b_n是数列{a_n}的第b_n-1项，求证：数列|b_n-1|为等比数列；
（Ⅲ）若对（Ⅱ）中的数列{a_n}和{b_n}及任意正整数n，均有2an+b_n+11≥0成立，求实数b的最小值．

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等差数列{a_n}的公差d＜0，且a₁²=a₁₁²，则数列{a_n}的前n项和S_n取最大值时n=______．

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