题目
题型:不详难度:来源:
1 |
4 |
bn |
1-an2 |
(1)求a2,a3;
(2)证数列{
1 |
an |
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,求实数λ为何值时4λSn<bn恒成立.
答案
1 |
4 |
1 |
4 |
3 |
4 |
b1 |
1-a12 |
| ||
1-(
|
4 |
5 |
a2=1-b2=1-
4 |
5 |
1 |
5 |
b2 |
1-a22 |
| ||
1-(
|
5 |
6 |
5 |
6 |
1 |
6 |
∴a2=
1 |
5 |
1 |
6 |
(2)证明:由an+1+bn+1=1,bn+1=
bn |
1-an2 |
∴1-an+1=bn+1=
bn |
1-an2 |
1-an |
(1-an)(1+an) |
1 |
1+an |
∴1-an+1=
1 |
1+an |
∴
1 |
an+1 |
1 |
an |
∴数列{
1 |
an |
∴
1 |
an |
1 |
n+3 |
∴bn=1-an=1-
1 |
n+3 |
n+2 |
n+3 |
(3)由an=
1 |
n+3 |
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=
1 |
4×5 |
1 |
5×6 |
1 |
(n+3)(n+4) |
=
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1 |
6 |
1 |
n+3 |
1 |
n+4 |
=
1 |
4 |
1 |
n+4 |
n |
4(n+4) |
∴4λSn-bn=
λn |
n+4 |
n+2 |
n+3 |
(λ-1)n2+(3λ-6)n-8 |
(n+3)(n+4) |
要使4λSn<bn恒成立,只需(λ-1)n2+(3λ-6)n-8<0恒成立,
设f(n)=(λ-1)n2+3(λ-2)n-8
当λ=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立,
当λ>1时,由二次函数的性质知f(n)不满足对于任意n∈N*恒成立,
当λ<l时,对称轴n=-
3 |
2 |
λ-2 |
λ-1 |
3 |
2 |
1 |
λ-1 |
f(n)在[1,+∞)为单调递减函数.
只需f(1)=(λ-1)n2+(3λ-6)n-8=(λ-1)+(3λ-6)-8=4λ-15<0
∴λ<
15 |
4 |
综上知:λ≤1时,4λSn<bn恒成立.
核心考点
试题【已知数列{ an}、{ bn}满足:a1=14,an+bn=1,bn+1=bn1-an2.(1)求a2,a3;(2)证数列{1an}为等差数列,并求数列{an}】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.99 | B.49 | C.102 | D.101 |
3 |
2 |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)试确定实数t的值,使得数列{bn}为等差数列.
(1)求数列{bn}的前n项的和Sn;
(2)设Tn=n(9+an),试比较Sn和Tn的大小,并证明你的结论.
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