题目

题型：青浦区一模难度：来源：

已知f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log2x+log2(3

ak

-x)≥2k+3(k∈N*)整数解的个数，求g（k）；
（3）在（2）的条件下，试求一个数列{b_n}，使得

lim

n→∞

[

1

g(1)g(2)

b1+

1

g(2)g(3)

b2+…

1

g(n)g(n+1)

bn]=

1

5

．

答案

（1）2n+4=2+（n+1）d，
∴d=2    f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2（n+1）
即log₂a_n=2n+2，
∴a_n=2²ⁿ⁺²
（2）log2(-x2+3

22(k+1)

x)≥2k+3，
∴-x2+3

22(k+1)

x≥22k+3，
得，x²-3•2^k+1x+2^2（k+1）+1≤0，即x²-3•2^k+1x+2•（2^k+1）²≤0，
∴（x-2^k+1）（x-2•2^k+1）≤0，
∴2^k+1≤x≤2•2^k+1
则g（k）=2^k+1+1
（3）

1

g(n)g(n+1)

=

1

(2n+1+1)(2n+2+1)

=

1

2n+1

(

1

2n+1+1

-

1

2n+2+1

)，
取b_n=2ⁿ⁺¹，
则

1

g(n)g(n+1)

bn=

1

(2n+1+1)(2n+2+1)

bn=

1

2n+1+1

-

1

2n+2+1

lim

n→∞

[

1

g(1)g(2)

b1+

1

g(2)g(3)

b2+…

1

g(n)g(n+1)

bn]=

lim

n→∞

(

1

5

-

1

2n+2+1

)=

1

5

．
∴b_n=2ⁿ⁺¹