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题目
题型:不详难度:来源:
已知为公差不为零的等差数列,首项的部分项、 、恰为等比数列,且.
(1)求数列的通项公式(用表示);
(2)设数列的前项和为, 求证:是正整数
答案
(1)   (2)见解析
解析

试题分析:
(1)由题得a1,a5,a17是成等比数列的,所以,则可以利用公差d和首项a来表示,进而得到d的值,得到an的通项公式.
(2)利用第一问可以求的等比数列、 、中的前三项,得到该等比数列的通项公式,进而得到的通项公式,再利用分组求和法可得到Sn的表达式,可以发现为不可求和数列,所以需要把放缩成为可求和数列,考虑利用的二项式定理放缩证明,即,故求和即可证明原不等式.
试题解析:
(1)设数列的公差为
由已知得成等比数列,
∴ ,且           2分
  
∵ 已知为公差不为零
,                               3分
.             4分
(2)由(1)知      ∴         5分
而等比数列的公比.
∴                                6分
因此

                       7分
                   9分
∵当时,

(或用数学归纳法证明此不等式)
               11分
∴当时,,不等式成立;
时,
 
综上得不等式成立.           14分
法二∵当时,

(或用数学归纳法证明此不等式)
            11分
∴当时,,不等式成立;
时,,不等式成立;
时,
 
综上得不等式成立.           14分
(法三) 利用二项式定理或数学归纳法可得:
所以,时,

时, 综上得不等式成立.
核心考点
试题【已知为公差不为零的等差数列,首项,的部分项、、 、恰为等比数列,且,,.(1)求数列的通项公式(用表示);(2)设数列的前项和为, 求证:(是正整数】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
设数列的前n项和为,且成等比数列,当时,
(1)求证:当时,成等差数列;
(2)求的前n项和
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设等比数列{},Sn是数列{}的前n项和,S3=14,且al+8,3a2,a3+6依次成等差数列,则al·a3等于(    )
A.4B.9C.16D.25

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已知数列是公差不为0的等差数列,a1=2且a2,a3,a4+1成等比数列。
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和
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在等差数列中,已知,则(  )
A.B.C.D.

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数列中,是常数,),且成公比不为的等比数列.
(1)求的值;
(2)求的通项公式.
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