题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分14分）
在数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.

答案

、
（1）
（3）数列的前项和

解析

解：（1）解法1：由
可得，------------------------------3分
∴数列是首项为，公差为1等差数列，
∴， -----------------6分
∴数列的通项公式为．-----------------------7分
解法2：由
可得-------------------------2分
令，则---------------------3分
∴当时
----5分

∴
--------------------------------6分
∴-------------------------------7分
解法3：∵， -------------1分
，-----------------------------------2分
．---------------------------3分
由此可猜想出数列的通项公式为．----------------4分
以下用数学归纳法证明．
①当时，，等式成立．
②假设当（）时等式成立，即，
那么
．--------------------------------6分
这就是说，当时等式也成立．根据①和②可知，等式对任何都成立．-------------------------------7分
（2）令， ------①-----8分
　　------②------9分
①式减去②式得：
，-------10分
∴．------------------12分
∴数列的前项和