题目

题型：不详难度：来源：

知{a_n}是首项为-2的等比数列,S_n是其前n项和,且S₃,S₂,S₄成等差数列,
(1)求数列{a_n}的通项公式.
(2)若b_n=log₂|a_n|,求数列{}的前n项和T_n.

答案

(1) a_n=(-2)ⁿ    (2) T_n=1-=

解析

(1)设数列{a_n}的公比为q,其首项a₁=-2.
方法一:①若q=1,则S_n=na₁=-2n,
此时S₃=-6,S₂=-4,S₄=-8,S₃,S₂,S₄不成等差数列,不合题意;
②若q≠1,则S_n==-
因为S₃,S₂,S₄成等差数列,
所以2S₂=S₃+S₄,即-=--,
整理得q²+q-2=0,
解得q=-2或q=1(舍去),
综上所述,数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1
=(-2)×(-2)^n-1=(-2)ⁿ.
方法二:S₂=a₁+a₁q,S₃=a₁+a₁q+a₁q²,S₄=a₁+a₁q+a₁q²+a₁q³.
因为S₃,S₂,S₄成等差数列,
所以2S₂=S₃+S₄,即2a₁+2a₁q=2a₁+2a₁q+2a₁q²+a₁q³,整理得2a₁q²+a₁q³=0.
因为a₁≠0,q≠0,所以q=-2,
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=(-2)×(-2)^n-1=(-2)ⁿ.
(2)由(1)可知a_n=(-2)ⁿ,
依题意b_n=log₂|a_n|=log₂|(-2)ⁿ|=log₂2ⁿ=n,
所以==-,
所以T_n=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.