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题目
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)满足2axf(x)=2f(x)-1,f(1)=1,设无穷数列{an}满足an+1=f(an).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若a1=3,从第几项起,数列{an}中的项满足an<an+1
(3)若1+
1
m
<a1
m
m-1
(m为常数且m∈N,m≠1),求最小自然数N,使得当n≥N时,总有0<an<1成立.
答案
(1)令x=1得2a=1,∴a=
1
2

∴f(x)=
1
2-x

(2)若a1=3,由a2=
1
2-a1
=-1,a3=
1
2-a2
=
1
3
,a4=
1
2-a3
=
3
5

假设当n≥3时,0<an<1,则0<an+1=
1
2-an
1
2-1
=1⇒2-an>0.
从而an+1-an=
1
2-an
-an=
(1-an)2
2-an
>0⇒an+1>an
从第2项起,数列{an}满足an<an+1
(3)当1+
1
m
<a1
m
m-1
时,a2=
1
2-a1
,得
m
m-1
<a2
m-1
m-2

同理,
m-1
m-2
<a3
m-2
m-3

假设
m-(n-1)+2
m-(n-1)+1
<an-1
m-(n-1)+1
m-(n-1)

由an=
1
2-an-1
与归纳假设知
m-(n-2)
m-(n-1)
<an
m-(n-1)
m-n
对n∈N*都成立.
当n=m时,
m-(n-2)
m-(n-1)
<am,即am>2.
∴am+1=
1
2-am
<0.
0<am+2=
1
2-am+1
1
2
<1.
由(2)证明知若0<an<1,则0<an+1=
1
2-an
1
2-1
=1.
∴N=m+2,使得n≥N时总有0<an<1成立.
核心考点
试题【已知函数f(x)满足2axf(x)=2f(x)-1,f(1)=1,设无穷数列{an}满足an+1=f(an).(1)求函数f(x)的表达式;(2)若a1=3,从】;主要考察你对数列的概念与表示方法等知识点的理解。[详细]
举一反三
数列3,5,9,17,33,…的通项公式an等于(  )
A.2nB.2n+1C.2n-1D.2n+1
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an},a1=a(a>0,a≠1),an=a•an-1(n≥2),定义bn=an•lgan,如果bn是递增数列,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知数列{an}的前n项和Sn=5-4×2-n,则其通项公式为______.
题型:长宁区一模难度:| 查看答案
在数列{an}中,已知a1=2,a2=3,当n≥2时,an+1是an•an-1的个位数,则a2011=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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