f（x）是定义在R上的函数，且f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=2，若an=f（n），（n∈N*），则a2011=______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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f（x）是定义在R上的函数，且f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=2，若a_n=f（n），（n∈N^*），则a₂₀₁₁=______．

答案

∵f（x+3）≤f（x）+3
∴f（x）≤f（x-3）+3≤f（x-6）+6
∵f（x+2）≥f（x）+2
∴f（x）≥f（x-2）+2≥f（x-4）+4≥f（x-6）+6
∴f（x）=f（x-6）+6
∵a_n=f（n），
∴a_n-a_n-6=6
∵a₁=2
∴{a_n}每隔6项取一项构成一个等差数列
∴a₂₀₁₁=a₁+（336-1）×6=2012
故答案为2012

核心考点

试题【f（x）是定义在R上的函数，且f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=2，若an=f（n），（n∈N*），则a2011=______．】；主要考察你对数列的概念与表示方法等知识点的理解。[详细]

举一反三

给定项数为m（m∈N^*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{a_n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”，例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{c_n}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{a_n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{a_n}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a₄=1，求数列{a_n}的最后一项a_m的值．

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已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，
（1）若b_n=S_n-3ⁿ，求{b_n}的通项公式；
（2）若a_n+1≥a_n恒成立，求a取值范围．

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

）在直线y=

上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n及使不等式T_n＜

2012

对一切n都成立的最小正整数k的值；
（3）设f（n）=

an(n=2l-1，l∈N*)

bn(n=2l，n∈N*)

问是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作a_ij（i，j∈N*），如第二行第4列的数是15，记作a₂₄=15，则有序数列（a₈₂，a₂₈）是______．

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数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-49，S_n达到最小时，n等于______．