题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)分别判断下列数列
①{bn}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0.
②{cn}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.是否是“5阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这5项;
(Ⅱ)若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是多少?说明理由;
(Ⅲ)假设数列{an}不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且a4=1,求数列{an}的最后一项am的值.
答案
所以数列①是“5阶可重复数列”,重复的这五项为0,0,1,1,0;
记数列②为{cn},因为c1,c2,c3,c4,c5、c2,c3,c4,c5,c6、c3,c4,c5,c6,c7、c4,c5,c6,c7,c8、c5,c6,c7,c8,c9、c6,c7,c8,c9,c10没有完全相同的,所以{cn}不是“5阶可重复数列”.
(Ⅱ)因为数列{an}的每一项只可以是0或1,所以连续3项共有23=8种不同的情形.
若m=11,则数列{an}中有9组连续3项,则这其中至少有两组按次序对应相等,即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”;若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”;则3≤m<10时,
均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}.
所以,要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是11.
(Ⅲ)由于数列{an}在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,即在数列{an}的末项am后再添加一项0或1,则存在i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3,ai+4与am-3,am-2,am-1,am,0按次序对应相等,或aj,aj+1,aj+2,aj+3,aj+4与am-3,am-2,am-1,am,1按次序对应相等,
如果a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am不能按次序对应相等,那么必有2≤i,j≤m-4,i≠j,使得ai,ai+1,ai+2,ai+3、aj,aj+1,aj+2,aj+3与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等.
此时考虑ai-1,aj-1和am-4,其中必有两个相同,这就导致数列{an}中有两个连续的五项恰按次序对应相等,从而数列{an}是“5阶可重复数列”,这和题设中数列{an}不是“5阶可重复数列”矛盾;
所以a1,a2,a3,a4与am-3,am-2,am-1,am按次序对应相等,
从而am=a4=1.
核心考点
试题【给定项数为m(m∈N*,m≥3)的数列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,…,m).若存在一个正整数k(2≤k≤m-1),若数列{an}中存在连续的k项】;主要考察你对数列的概念与表示方法等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若bn=Sn-3n,求{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an恒成立,求a取值范围.
Sn |
n |
1 |
2 |
11 |
2 |
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=
3 |
(2an-11)(2bn-1) |
k |
2012 |
(3)设f(n)=
|