题目

题型：不详难度：来源：

给定项数为m（m∈N^*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{a_n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”，例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{c_n}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{a_n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{a_n}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a₄=1，求数列{a_n}的最后一项a_m的值．

答案

（Ⅰ）记数列①为{b_n}，因为b₂，b₃，b₄，b₅，b₆与b₆，b₇，b₈，b₉，b₁₀按次序对应相等，
所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0，0，1，1，0；
记数列②为{c_n}，因为c₁，c₂，c₃，c₄，c₅、c₂，c₃，c₄，c₅，c₆、c₃，c₄，c₅，c₆，c₇、c₄，c₅，c₆，c₇，c₈、c₅，c₆，c₇，c₈，c₉、c₆，c₇，c₈，c₉，c₁₀没有完全相同的，所以{c_n}不是“5阶可重复数列”．
（Ⅱ）因为数列{a_n}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有2³=8种不同的情形．
若m=11，则数列{a_n}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列{a_n}一定是“3阶可重复数列”；若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”；则3≤m＜10时，
均存在不是“3阶可重复数列”的数列{a_n}．
所以，要使数列{a_n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．
（Ⅲ）由于数列{a_n}在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列{a_n}的末项a_m后再添加一项0或1，则存在i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3，a_i+4与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，0按次序对应相等，或a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3，a_j+4与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m，1按次序对应相等，
如果a₁，a₂，a₃，a₄与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m不能按次序对应相等，那么必有2≤i，j≤m-4，i≠j，使得a_i，a_i+1，a_i+2，a_i+3、a_j，a_j+1，a_j+2，a_j+3与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序对应相等．
此时考虑a_i-1，a_j-1和a_m-4，其中必有两个相同，这就导致数列{a_n}中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列{a_n}是“5阶可重复数列”，这和题设中数列{a_n}不是“5阶可重复数列”矛盾；
所以a₁，a₂，a₃，a₄与a_m-3，a_m-2，a_m-1，a_m按次序对应相等，
从而a_m=a₄=1．