题目
题型:不详难度:来源:
如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列为“兑换数列”,常数是它的“兑换系数”.
(1)若数列:是“兑换系数”为的“兑换数列”,求和的值;
(2)已知有穷等差数列的项数是,所有项之和是,求证:数列是“兑换数列”,并用和表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.
答案
解析
解:(1)因为数列:1,2,4(m>4)是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是该数列的项,且a-m<a-4<a-2<a-1-------------------1分
故a-m=1,a-4=2-------------------3分
即a=6,m=5 -------------------4分
(2)设数列的公差为d,因为数列是项数为项的有穷等差数列
若
即对数列中的任意一项
-------------------6分
同理可得:若,也成立,
由“兑换数列”的定义可知,数列是 “兑换数列”;-------------------8分
又因为数列所有项之和是B,所以,即------10分
(3)假设存在这样的等比数列,设它的公比为q,(q>1),
因为数列为递增数列,所以
又因为数列为“兑换数列”,则,所以是正整数
故数列必为有穷数列,不妨设项数为n项,------------------12分
则----------14分
① n=3则有,又,由此得q=1,与q>1矛盾;-------------------15分
②若。由,
即(),故q=1,与q>1矛盾;-------------------17分
综合①②得,不存在满足条件的数列。-------------------18分
核心考点
试题【第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列为“兑换数列”,常数是它】;主要考察你对数列的概念与表示方法等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为,记.若为数列中的最大项,求实数的取值范围.
A.6 | B.7 | C.8 | D.9 |
A.5 | B.6 | C.7 | D.8 |
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