题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大最小值及相应的x的值；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

答案

（1）∵函数f（x）=sin2x+

3

sinxcosx+2cos2x=1+

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

+sin（2x+

π

6

），
故f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．
（2）当2x+

π

6

=2kπ-

π

2

时，k∈z，函数f（x）取得最小值为

3

2

-1=

1

2

，此时x的值为{x|x=kπ-

π

3

，k∈z}；
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

时，k∈z，函数f（x）取得最大值为

3

2

+1=

5

2

，此时x的值为{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}．
（3）把函数y=sin2x（x∈R）的图象上的所有点向左平移

π

12

个单位可得函数y=sin2（x+

π

12

）的图象，再把所得
图象上的所有点向上平移

3

2

个单位，即可得到 函数f（x）=

3

2

+sin（2x+

π

6

） 的图象．