题目
题型:不详难度:来源:
(1)已知函数的最小正周期为,求函数的“相伴向量”;
(2)记向量的“相伴函数”为,将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数,若,求的值;
(3)对于函数,是否存在“相伴向量”?若存在,求出“相伴向量”;
若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)由函数平方项展开化简,再通过化一公式即可得一个函数的形式,又因为最小正周期为,即可求得的值.再将函数展开写成的形式及可得结论.
(2)由向量为函数的“相伴向量”,所以可得到函数.再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数.再根据.通过解三角方程即可得到所求的结论.
(3)对于函数,是否存在“相伴向量”.通过反证法的思想,可证明不存在函数的“相伴向量”.
(1)
, 1分
依题意得,故. 2分
∴,即的“相伴向量”为(1,1). 3分
(2)依题意,, 4分
将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到函数, 5分
再将所得的图象上所有点向左平移个单位长度,得到,
即, 6分
∵,∴,
∵,∴,∴, 8分
∴. 10分
(3)若函数存在“相伴向量”,
则存在,使得对任意的都成立, 11分
令,得,
因此,即或,
显然上式对任意的不都成立,
所以函数不存在“相伴向量”. 13分
(注:本题若化成,直接说明不存在的,给1分)
核心考点
试题【若函数,非零向量,我们称为函数的“相伴向量”,为向量的“相伴函数”.(1)已知函数的最小正周期为,求函数的“相伴向量”;(2)记向量的“相伴函数”为,将图象上所】;主要考察你对正弦函数的图象与性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数的解析式,并写出 的单调减区间;
(2)已知的内角分别是A,B,C,角A为锐角,且的值.
(1)求函数的表达式及单调递增区间;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,S△ABC为其面积,若,b=1,,求a的值。
A.f(x)的图象关于直线x=对称 |
B.f(x)的图象关于点(,0)对称 |
C.f(x)的最小正周期为π,且在[0,]上为增函数 |
D.把f(x)的图象向右平移个单位,得到一个偶函数的图象 |
①若cos α=cos β,则α-β=2kπ,k∈Z;
②函数y=2cos的图象关于x=对称;
③函数y=cos(sin x)(x∈R)为偶函数;
④函数y=sin|x|是周期函数,且周期为2π.
A.①② | B.①④ | C.①②③ | D.①②④ |
②存在区间(a,b)使y=cos x为减函数且sin x<0;
③y=tan x在其定义域内为增函数;
④y=cos 2x+sin(-x)既有最大、最小值,又是偶函数;
⑤y=|sin 2x+|的最小正周期为π.
以上命题错误的为________(填序号).
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