题目

题型：解答题难度：一般来源：静安区一模

（理）设

a

=(cosα，(λ-1)sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，(λ＞0，0＜α＜β＜

π

2

)是平面上的两个向量，若向量

a

+

b

与

a

-

b

相互垂直，
（1）求实数λ的值；
（2）若

a

•

b

=

4

5

，且tanα=

4

3

，求α的值（结果用反三角函数值表示）

答案

（1）由题设，得(

a

+

b

)(

a

-

b

)=0，
即|

a

|2-|

b

|2=0，
所以，（λ-1）²sin²α-sin²α=0，
即λ（λ-2）sin²α=0
因为0＜α＜

π

2

，
∴sin²α≠0，又λ＞0，
所以λ-2=0，即λ=2；
（2）由（1）知，

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，
∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)，
又

a

•

b

=

4

5

，
∴cos(α-β)=

4

5

，
∵0＜α＜β＜

π

2

，则-

π

2

＜α-β＜0，
∴sin(α-β)=-

3

5

，tan(α-β)=-

3

4

，
∴tanα=tan[(α-β)+β]=

7

24

，
又0＜α＜

π

2

，
∴α=arctan

7

24

．