题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知A、B、C三点的坐标分别为A（-sin

x

2

，sin

x

2

)，B（sin

x

2

，-2cos

x

2

)，C（cos

x

2

，0）．
（Ⅰ）求向量

AC

和向量

BC

的坐标；
（Ⅱ）设f(x)=

AC

•

BC

，求f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）求当x∈[

π

12

，

5π

6

]时，f（x）的最大值及最小值．

答案

（Ⅰ）

AC

=(cos

x

2

+sin

x

2

，-sin

x

2

)，

BC

=(cos

x

2

-sin

x

2

，2cos

x

2

)．
（Ⅱ）∵f(x)=

AC

•

BC

=(cos

x

2

+sin

x

2

)•(cos

x

2

-sin

x

2

)+(-sin

x

2

)•2cos

x

2

=cos2

x

2

-sin2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=cosx-sinx
=

2

(cosx•

2

2

-sinx•

2

2

)
=

2

cos(x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期T=2π．
（Ⅲ）∵

π

12

≤x≤

5π

6

，∴

π

3

≤x+

π

4

≤

13π

12

．
∴当x+

π

4

=π，即x=

3π

4

时，f（x）有最小值-

2

，
当x+

π

4

=

π

3

，即x=

π

12

时，f（x）有最大值

2

2

．