题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a、b、c为正数，且满足a²+b²=c²．
（1）求证：log2(1+

b+c

a

)+log2(1+

a-c

b

)=1
（2）若log4(1+

b+c

a

)=1，log8(a+b-c)=

2

3

，求a、b、c的值．

答案

证明：（1）左边=log2

a+b+c

a

+log2

a+b-c

b

=log2(

a+b+c

a

•

a+b-c

b

)
=log2

(a+b)2-c2

ab

=log2

a2+2ab+b2-c2

ab

=log2

2ab+c2-c2

ab

=log22=1；
（2）由log4(1+

b+c

a

)=1得1+

b+c

a

=4，∴-3a+b+c=0①
由log8(a+b-c)=

2

3

得a+b-c=8

2

3

=4②
由①+②得b-a=2③
由①得c=3a-b，代入a²+b²=c²得2a（4a-3b）=0，∵a＞0，
∴4a-3b=0④
由③、④解得a=6，b=8，从而c=10．