题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a＞0，方程ax²+x+1=0两实根为x₁，x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：x₁，x₂都小于-1；

答案

（1）∵方程ax²+x+1=0有两实根x₁，x₂．
∴△=1-4a≥0
即a≤

1

4

又∵a＞0
∴满足条件的a的取值范围为（0，

1

4

]
（2）由（1）得：a∈(0，

1

4

]
∴x₁+x₂=-

1

a

≤-4，x₁•x₂=

1

a

≥4
则x₁与x₂均小于0
假设x₁，x₂不都小于-1；
不妨令-1≤x₁＜0
则由x₁+x₂≤-4得
x₂≤-3
则此时x₁•x₂≤3
这与x₁•x₂≥4相矛盾
故假设不成立，故x₁，x₂都小于-1；