题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，请求出一个长度为

1

4

的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度=b-a）．

答案

（1）要使函数有意义，则

1-x＞0 1+x＞0

，
∴-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）
（2）∵f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）由题意知方程f（x）=x+1⇔log₂（1-x）-log₂（1+x）=x+1，可化为（x+1）2^x+1+x-1=0
设g（x）=（x+1）2^x+1+x-1，x∈（-1，1）
则g(-

1

2

)=

1

2

×2

1

2

-

1

2

-1=

2 -3

2

＜0，g（0）=2-1=1＞0，
所以g(-

1

2

)g(0)＜0，故方程在(-

1

2

，0)上必有根；
又因为g(-

1

4

)=

3

4

×2

3

4

-

1

4

-1=

34 8 -5

4

=

4 648 -4 625

4

＞0，
所以g(-

1

2

)g(-

1

4

)＜0，故方程在(-

1

2

，-

1

4

)上必有一根．
所以满足题意的一个区间为(-

1

2

，-

1

4

)．